I - Introdução: Um outro tipo de seqüência muito comum em nossos desafios são as P.G.’s . Elas tratam de seqüências que podem representar crescimento de populações, cálculos de juros compostos, nascimento de novos galhos em uma árvore e tudo que aumente ou diminua segundo uma constante, a razão. Veremos que esta seqüência é “ mais rápida ” que a P.A tanto no crescimento como no decrescimento, pois sua razão é obtida pela divisão do termo pelo seu antecessor.

II – Formulário:

1^o – Termo Geral:

an = a₁ . q^n-1

an = Termo geral

a1= 1º Termo

n = Número de termos

q = Razão

OBS:

2 ^o - Propriedades:

1º) q = (a₂ / a₁ ) = (a_{3 /} a₂ ) = (a_{4 /} a₃) = constante

2º) a₂ ² = a₁ . a₃

OBS: Se a_{1 =} q temos ainda: a₁ . a₃ = a₄

a₁ . a_{3 .} a_{4 =} a₈

_{1+3+4=8 8}

( A soma dos índices de cada lado devem ser iguais )

3 ^o - Fórmula da Soma dos termos de uma P.G

a) P.G Finita: ( limitada)

S_n = [ a_{1 .} (qⁿ - 1)] / q - 1

b) Limite da soma de uma P.G infinita : (ilimitada)

S_n = a₁ / 1 - q

O mais utilizado é o limite da soma da P.G infinita.

Os alunos confundem muito quando é necessário utilizar o termo geral ou a soma dos termos.

A dica é:

Para guardar pense a_n é “ local ”

S_n é “ total ”

Numa seqüência, o termo geral fornece o valor naquela posição e a fórmula da soma fornece a soma de todos os termos, incluindo o daquela posição (limitada)

Ex.: no crescimento de uma comunidade que se comporta como P.G, o número de pessoas que nascem em determinado ano é obtido pelo a_n e o total de pessoas até aquele ano, incluindo aquele ano é o S_n.

4 ^o – Produto dos termos de uma P.G. finita:

P_n = a₁ⁿ . q ^n.(n-1)/2

OBS : A P.G pode ser aplicada para cálculos de matemática financeira quando se tratar de “juros sobre juros”, ou seja, juros compostos.

Ex. : Um valor V é aplicado a juros de 10% ao mês. Sendo juros compostos.

1º mês: a₁ = V

2º mês: a₂ = 1,1V q = 1,1

3º mês: a₃ = 1,21V

4º mês: a₄ = 1,331 V q = 1,1

5º mês: a₅ = 1,4641V

O termo geral fornece o valor acumulado ( valor + juros) e q é ( 1 – a taxa ) se for desconto ou ( 1 + a taxa ) se for aumento.